MATHS & MATHS ONLY
8-ஆம் வகுப்பு கணிதம் | அலகு 1: எண்கள் (Numbers) — முழுமையான வழிகாட்டி
வணக்கம் ஆசிரியர்களே மற்றும் தேர்வர்களே! 8-ஆம் வகுப்பு கணிதத்தின் முதல் அலகான "எண்கள்" பாடத்தில் உள்ள விகிதமுறு எண்கள், வர்க்கம், வர்க்கமூலம், கனம், கனமூலம், அடுக்கு விதிகள் மற்றும் அறிவியல் குறியீடு தொடர்பான அனைத்து நுணுக்கமான விதிகளும் மிகத் தெளிவாகக் கீழே தொகுக்கப்பட்டுள்ளன.
பாடத்தின் அனைத்துச் சூத்திரங்களையும் ஒரே பக்கத்தில் விரைவாக மீள்பார்வை செய்ய:
பாடத்தின் அனைத்துப் பயிற்சிக் கணக்குகளையும் விரிவாகப் படிக்க:
💡 1. உங்களுக்குத் தெரியுமா? (Do You Know? Facts)
- TNTET / NMMS விகிதமுறு எண்களின் குறியீடு (Q): பூச்சியத்தால் வகுப்பதைத் தவிர்த்து, விகிதமுறு எண்கள் அனைத்தும் விகிதங்களின் அடிப்படையில் அமைவதால், அதன் தொகுப்பானது Q (Quotient) என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.
- TNPSC / TET செவ்விய எண்கள் (Perfect Numbers): 6, 28, 496, 8128 போன்ற செவ்விய எண்கள் ஒருபோதும் முழு வர்க்க எண்கள் அல்ல.
- Most Important ஹார்டி - இராமானுஜன் எண்கள்:
1729 என்பது இரு வெவ்வேறு வழிகளில், இரு கன எண்களின் கூடுதலாக எழுதப்படக்கூடிய மிகச் சிறிய எண் ஆகும்:1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³பிற எண்கள்: 4104, 13832, 20683.
- வியப்பூட்டும் விதிவிலக்குக் கணக்கீடுகள்:
• (13/4) + (13/9) = (13/4) × (13/9)
• (169/30) + (13/15) = (169/30) ÷ (13/15)
🔥 2. வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் (Squares & Square Roots) — விரிவான குறிப்புகள்
📌 வர்க்க எண்களின் முக்கியப் பண்புகள் (Properties of Square Numbers):
- Key Rule முழு வர்க்க எண்கள் எப்போதும் 0, 1, 4, 5, 6 அல்லது 9 ஆகிய எண்களில் மட்டுமே முடியும்.
- Golden Rule 2, 3, 7 மற்றும் 8 ஆகிய எண்களில் முடியும் எந்த ஓர் எண்ணும் முழு வர்க்க எண் அல்ல.
- ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணின் வர்க்கம் எப்போதும் ஒற்றை எண்; இரட்டைப்படை எண்ணின் வர்க்கம் எப்போதும் இரட்டை எண்.
- பூச்சியத்தில் முடியும் ஒரு முழு வர்க்க எண் எப்போதும் இரட்டைப்படை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களையே கொண்டிருக்கும் (எ.கா: 100, 400, 90000). ஒற்றைப்படை பூச்சியங்கள் வந்தால் அது முழு வர்க்கம் அல்ல.
- TET / NMMS அடுத்தடுத்த எண்கள் n மற்றும் (n+1)-இன் வர்க்கங்களுக்கு இடையே 2n எண்ணிக்கையிலான வர்க்கமற்ற எண்கள் இருக்கும் (எ.கா: 24² மற்றும் 25² இடையே 2 × 24 = 48 எண்கள் உண்டு).
- வகுபடும் மீதிகள்:
• 1-ஐத் தவிர்த்த ஓர் இயல் எண்ணின் வர்க்கத்தை 3-ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே வரும் (2 வராது).
• 4-ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 அல்லது 1 மட்டுமே வரும் (2, 3 வராது).
• 8-ஆல் வகுத்தால் மீதி 0, 1 அல்லது 4 மட்டுமே வரும்.
📌 வர்க்கமூலம் காணும் முறைகள் & விதிகள்:
- பகாக்காரணி முறை: ஓர் எண்ணின் வர்க்கத்தில் உள்ள பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கை, அந்த எண்ணின் பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கையைப் போல இரு மடங்கு ஆகும்.
- TNPSC வர்க்கமூல இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை: ஓர் எண்ணில் n இலக்கங்கள் இருப்பின், அதன் வர்க்கமூலத்தில்:
• n இரட்டைப்படை எனில் = n / 2 இலக்கங்கள் இருக்கும்.
• n ஒற்றைப்படை எனில் = (n + 1) / 2 இலக்கங்கள் இருக்கும். - மூல விதிகள்:
• √(a × b) = √a × √b
• √(a / b) = √a / √b (b ≠ 0)
🧊 3. கனம் மற்றும் கனமூலம் (Cubes & Cube Roots) — விரிவான குறிப்புகள்
- மிகை எண்ணின் கனம் மிகை எண்; குறை எண்ணின் கனம் குறை எண் (எ.கா: (-7)³ = -343).
- ஒரு முழு கன எண் ஒருபோதும் இரண்டு பூச்சியங்களுடன் முடியாது (பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 3-ன் மடங்காக இருக்க வேண்டும்).
- ஓர் ஈரிலக்க எண்ணின் கனத்தில் 4, 5 அல்லது 6 இலக்கங்கள் வரை மட்டுமே இருக்க முடியும்.
- Special Formula முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்:
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² - ஒன்றுகள் இலக்கத் தொடர்பு:
• 0, 1, 4, 5, 6, 9-ல் முடியும் எண்களின் கனம் முறையே அதே 0, 1, 4, 5, 6, 9-ல் முடியும்.
• 2-ல் முடிந்தால் கனம் 8-ல் முடியும்; 8-ல் முடிந்தால் கனம் 2-ல் முடியும்.
• 3-ல் முடிந்தால் கனம் 7-ல் முடியும்; 7-ல் முடிந்தால் கனம் 3-ல் முடியும்.
📌 4. விகிதமுறு எண்கள் & அடுக்கு விதிகள்
| பண்புகள் | கூட்டல் (+) | கழித்தல் (-) | பெருக்கல் (×) | வகுத்தல் (÷) |
|---|---|---|---|---|
| அடைவுப் பண்பு | பொருந்தும் | பொருந்தும் | பொருந்தும் | பொருந்தாது |
| பரிமாற்றுப் பண்பு | a + b = b + a | பொருந்தாது | ab = ba | பொருந்தாது |
| சேர்ப்புப் பண்பு | (a+b)+c = a+(b+c) | பொருந்தாது | (ab)c = a(bc) | பொருந்தாது |
| சமனிப் பண்பு | 0 (கூட்டல் சமனி) | இல்லை | 1 (பெருக்கல் சமனி) | இல்லை |
| நேர்மாறுப் பண்பு | -a (கூட்டல் நேர்மாறு) | பொருந்தாது | 1/a (தலைகீழி) | பொருந்தாது |
- அடுக்கு விதிகள்: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | a⁰ = 1 | a⁻ᵐ = 1/aᵐ
- அறிவியல் குறியீடு: S × 10ᵃ (இங்கு 1 ≤ S < 10, a ∈ ℤ).
📝 5. அலகுத் தேர்வு — Interactive Online Quiz (10 Questions)
விடைகளைத் தேர்வு செய்து "Submit Quiz & Check Score" பொத்தானை அழுத்தவும்:
1. விகிதமுறு எண்களின் கூட்டல் சமனி எது?
2. பின்வருவனவற்றுள் எது முழு வர்க்க எண் அல்ல?
3. 24² மற்றும் 25² ஆகியவற்றிற்கு இடையே எத்தனை வர்க்கமற்ற எண்கள் உள்ளன?
4. மிகச் சிறிய ஹார்டி - இராமானுஜன் எண் எது?
5. தன்னைத்தானே தலைகீழியாகக் கொண்ட எண்கள் எவை?
6. 123454321 இன் வர்க்கமூலத்தில் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை யாது?
7. விகிதமுறு எண்களுக்கு கீழ்க்கண்ட எந்தச் செயல்பாட்டில் அடைவுப் பண்பு உண்மையாகாது?
8. (5⁰ + 6⁻¹) × 3² இன் மதிப்பு என்ன?
9. 0.000001972 என்ற எண்ணின் சரியான அறிவியல் குறியீடு எது?
10. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ இன் மதிப்பு எதற்குச் சமம்?
✨ தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள் — வெற்றி நிச்சயம்! | 🌐 www.mathsandmathsonly.com ✨
