MATHS & MATHS ONLY
8-ஆம் வகுப்பு கணிதம் | அலகு 2: அளவைகள் (Measurements) — முழுமையான வழிகாட்டி
வணக்கம் ஆசிரியர்களே மற்றும் மாணவச் செல்வங்களே! தமிழ்நாடு சமச்சீர் கல்வி 8-ஆம் வகுப்பு கணிதப் பாடத்தின் இரண்டாம் அலகான "அளவைகள்" (Measurements) பகுதியிலிருந்து வட்டத்தின் பகுதிகள், வட்டக்கோணப்பகுதி, கூட்டு வடிவங்கள், பலகோணங்கள் மற்றும் முப்பரிமாண வடிவங்களுக்கான ஆய்லர் சூத்திரம் (F + V - E = 2) தொடர்பான அனைத்து முக்கியச் சூத்திரங்களும், போட்டித் தேர்வுக் குறிப்புகளும் கீழே மிகத் தெளிவாகத் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன.
பாடத்தின் அனைத்துச் சூத்திரங்களையும் வரைபடங்களுடன் ஒரே பக்கத்தில் விரைவாக மீள்பார்வை செய்ய:
பாடத்தின் அனைத்துப் பயிற்சிக் கணக்குகளையும் விரிவாகப் படிக்க:
💡 1. உங்களுக்குத் தெரியுமா? (Do You Know? Facts)
- Important வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு: π ≈ 3.14 என்பதால், d அலகு விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவானது விட்டத்தைப் போல் 3 மடங்குக்கும் சற்று அதிகமாக இருக்கும் (C = πd ≈ 3.14d)[cite: 8]. எ.கா: 3 மீ விட்டமுள்ள வட்ட மேசைக்கு ≈ 9 மீட்டருக்கும் சற்று அதிக நீளமுள்ள பூச்சரம் தேவைப்படும்[cite: 8].
- TET / NMMS பழங்காலத் தமிழர் கணித முறை (கணக்கதிகாரம்):
"வட்டத்தரை கொண்டு விட்டத்தரை தாக்கச் சட்டெனத் தோன்றும் குழி"[cite: 8]
• வட்டத்தரை = சுற்றளவில் பாதி (½ × 2πr = πr)[cite: 8]
• விட்டத்தரை = விட்டத்தில் பாதி ஆரம் (r)[cite: 8]
• குழி = பரப்பளவு (πr × r = πr2)[cite: 8]. - GK / Exam π தினம் (Pi Day): ஆண்டுதோறும் மார்ச் 14 (3/14 - π-ன் தோராய மதிப்பு 3.14) அன்று கொண்டாடப்படுகிறது[cite: 8, 9]. π என்பது ஒரு முடிவுறா, சுழல்தன்மையற்ற தசம எண் (விகிதமுறா எண்)[cite: 8].
- Page 66 Shortcuts சதுரம் & வட்டம் சிறப்புத் தொடர்புகள் (a பக்க அளவுள்ள சதுரம்):
• சதுரத்தினுள் வெட்டப்படும் மிகப்பெரிய வட்டத்தின் பரப்பளவு = (11/14) a2 (தோராயமாக)[cite: 8].
• சதுரத்தில் வட்டம் வெட்டிய பின் மீதமுள்ள மூலைகளின் பரப்பளவு = (3/14) a2[cite: 8].
• சதுரத்தின் 4 மூலைகளிலும் கால்வட்டங்கள் அமைந்தால், நடுவில் உள்ள நிழலிட்ட பரப்பளவு = (4/7) a2 (நிழலிடப்படாத பரப்பு = (3/7) a2)[cite: 8].
🎯 2. வட்டத்தின் பகுதிகள் & வட்டக்கோணப்பகுதி (Circle & Sectors)
- வட்டம்: ஒரு தளத்திலுள்ள நிலையான புள்ளியிலிருந்து (மையம்) சம தொலைவில் (ஆரம்) நகரும் புள்ளியின் நியமப்பாதை[cite: 8].
- நாண் & விட்டம்: வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு நாண் எனப்படும்[cite: 8]. வட்ட மையத்தின் வழியே செல்லும் நாணே மிகப்பெரிய நாண் (விட்டம்) ஆகும்[cite: 8]. விட்டம் வட்டத்தை இரு சம அளவுள்ள வட்டத்துண்டுகளாகப் பிரிக்கிறது[cite: 8].
- வட்டக்கோணப்பகுதி: இரு ஆரங்களாலும், வட்டப்பரிதியில் வெட்டப்படும் வில்லாலும் அடைபடும் சமதளப்பகுதி[cite: 8].
- மையக்கோணம்: வட்டத்தின் மையக்கோணம் 360°[cite: 8]. வட்டம் n சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டால் அதன் மையக்கோணம் θ = 360° / n[cite: 8]. (அரைவட்டம்: 180°, கால்வட்டம்: 90°)[cite: 8].
| வடிவம் | மையக்கோணம் (θ) | வில்லின் நீளம் (l) | பரப்பளவு (A) | சுற்றளவு (P) |
|---|---|---|---|---|
| முழு வட்டம் | 360° | 2πr அல்லது πd | πr2 | 2πr |
| அரைவட்டம் | 180° | πr | ½ πr2 | (π + 2)r |
| கால்வட்டம் | 90° | ½ πr | ¼ πr2 | (π/2 + 2)r |
| வட்டக்கோணப்பகுதி (θ°) | θ° | (θ°/360°) × 2πr | (θ°/360°) × πr2 அல்லது lr / 2 | l + 2r |
| n சமபாக வட்டக்கோணம் | 360° / n | (1/n) × 2πr | (1/n) × πr2 | l + 2r |
📐 3. தள உருவங்களின் பரப்பளவு & பலகோணங்கள் (Polygons - Page 63)
| வ.எண் | தள வடிவம் | பரப்பளவு (A - சதுர அலகுகள்) | சுற்றளவு (P - அலகுகள்) |
|---|---|---|---|
| 1 | முக்கோணம் | ½ × b × h | மூன்று பக்கங்களின் கூடுதல் |
| 2 | சமபக்க முக்கோணம் | (√3 / 4) a2 (உயரம் h = √3/2 a) | 3a |
| 3 | செவ்வகம் | l × b | 2(l + b) |
| 4 | சதுரம் | a2 | 4a |
| 5 | இணைகரம் | b × h | 2(a + b) |
| 6 | சாய்சதுரம் | ½ × d1 × d2 | 4a |
| 7 | சரிவகம் | ½ × h × (a + b) | நான்கு பக்கங்களின் கூடுதல் |
| 8 | நாற்கரம் | ½ × d × (h1 + h2) | நான்கு பக்கங்களின் கூடுதல் |
📌 பலகோணங்கள் (Polygons) — NMMS & TET குறிப்புகள்:
- ஒழுங்கு பலகோணம் (Regular Polygon): அனைத்துப் பக்கங்களும், அனைத்துக் கோணங்களும் சமமாக உள்ள வடிவம்[cite: 8]. (எ.கா: சமபக்க முக்கோணம், சதுரம்)[cite: 8].
- Trap Question சாய்சதுரம் ஒழுங்கு பலகோணமா? இல்லை! சாய்சதுரத்தின் அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம் என்றாலும் அதன் கோணங்கள் சமமல்ல; எனவே அது ஒழுங்கற்ற பலகோணமே ஆகும்[cite: 8, 9].
- பலகோணப் பெயர்கள்: 3-முக்கோணம், 4-நாற்கரம், 5-ஐங்கோணம் (Pentagon), 6-அறுங்கோணம் (Hexagon), 7-எழுகோணம் (Heptagon), 8-எண்கோணம் (Octagon), 9-நவகோணம் (Nonagon), 10-பதின்மக்கோணம் (Decagon)[cite: 8].
🧊 4. முப்பரிமாண (3-D) வடிவங்கள் & ஆய்லர் சூத்திரம் (Euler's Formula)
நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் (ஆழம்) கொண்ட வடிவங்கள் முப்பரிமாண வடிவங்கள் (3-D) எனப்படும்[cite: 8]. பன்முக திண்மங்களின் முகங்கள் (F), உச்சிகள் (V), மற்றும் விளிம்புகளுக்கு (E) இடையேயான தொடர்பு ஆய்லர் சூத்திரம் எனப்படும்[cite: 8]:
| திண்மத்தின் பெயர் | முகங்கள் (F) | உச்சிகள் (V) | விளிம்புகள் (E) | ஆய்லர் சரிபார்த்தல் (F + V - E) |
|---|---|---|---|---|
| கனச்சதுரம் (Cube) | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 - 12 = 2 |
| கனச்செவ்வகம் (Cuboid) | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 - 12 = 2 |
| முக்கோணப் பட்டகம் (Triangular Prism) | 5 | 6 | 9 | 5 + 6 - 9 = 2 |
| சதுரப் பிரமீடு (Square Pyramid) | 5 | 5 | 8 | 5 + 5 - 8 = 2 |
| முக்கோணப் பிரமீடு (Tetrahedron) | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 - 6 = 2 |
- வலைகள் (Nets): ஒரு 3-D திண்மத்தை விரித்து தட்டையான அட்டையாக உருவாக்கும் தள அமைப்பே வலையாகும்[cite: 8]. 6 சதுர தளங்கள் கொண்ட வலை கனச்சதுரத்தை உருவாக்கும்[cite: 8].
- குறுக்குவெட்டுத் தோற்றம்: கேரட்/வாழைத்தண்டின் குறுக்குவெட்டு வட்டம்; பிரெட்/செங்கல்லின் குறுக்குவெட்டு செவ்வகம்/சதுரம்[cite: 8].
📝 5. அலகுத் தேர்வு — Interactive Online Quiz (10 Questions)
விடைகளைத் தேர்வு செய்து "Submit Quiz & Check Score" பொத்தானை அழுத்தவும்:
1. ஒரு வட்டத்தின் மிகப்பெரிய நாண் எது?
2. ஆய்லர் சூத்திரம் (Euler's Formula) கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது?
3. ஒரு முக்கோணப் பட்டகத்திற்கு (Triangular Prism) எத்தனை விளிம்புகள் (Edges) உள்ளன?
4. வில்லின் நீளம் l மற்றும் ஆரம் r கொண்ட வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு யாது?
5. 'a' அலகு பக்க அளவுள்ள சதுரத்திலிருந்து வெட்டப்படும் மிகப்பெரிய வட்டத்தின் பரப்பளவு என்ன?
6. பின்வருவனவற்றுள் எது ஒழுங்கு பலகோணம் (Regular Polygon) ஆகும்?
7. ஒரு பன்முக திண்மத்தில் F = 20, V = 12 எனில் விளிம்புகளின் (E) எண்ணிக்கை யாது?
8. உலக π (Pi) தினம் எப்போது கொண்டாடப்படுகிறது?
9. அரைவட்டத்தின் சுற்றளவு காணும் சூத்திரம் எது?
10. 8 சம அளவுள்ள வட்டக்கோணப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையக்கோணம் யாது?
✨ தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள் — வெற்றி நிச்சயம்! | 🌐 www.mathsandmathsonly.com ✨
